#LyX 2.1 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 474
\begin_document
\begin_header
\textclass article
\begin_preamble
\usepackage{unicode-math}

% Toto je trik, jimž se z fontspec získá familyname pro následující
\ExplSyntaxOn
\DeclareExpandableDocumentCommand{\getfamilyname}{m}
 {
  \use:c { g__fontspec_ \cs_to_str:N #1 _family }
 }
\ExplSyntaxOff

% definujeme novou rodinu, jež se volá pomocí \MyCyr pro běžné použití, avšak pro účely \DeclareSymbolFont je nutno získat název pomocí getfamilyname definovaného výše
\newfontfamily\MyCyr{CMU Serif}

\DeclareSymbolFont{cyritletters}{EU1}{\getfamilyname\MyCyr}{m}{it}
\newcommand{\makecyrmathletter}[1]{%
  \begingroup\lccode`a=#1\lowercase{\endgroup
  \Umathcode`a}="0 \csname symcyritletters\endcsname\space #1
}
\count255="409
\loop\ifnum\count255<"44F
  \advance\count255 by 1
  \makecyrmathletter{\count255}
\repeat

\renewcommand{\lyxmathsym}[1]{#1}
\end_preamble
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language czech
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman TeX Gyre Pagella
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_math default
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts true
\font_sc false
\font_osf true
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100
\graphics default
\default_output_format pdf4
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize 10
\spacing single
\use_hyperref true
\pdf_title "Accelerating lattice mode calculations with T-matrix method"
\pdf_author "Marek Nečada"
\pdf_bookmarks true
\pdf_bookmarksnumbered false
\pdf_bookmarksopen false
\pdf_bookmarksopenlevel 1
\pdf_breaklinks false
\pdf_pdfborder false
\pdf_colorlinks false
\pdf_backref false
\pdf_pdfusetitle true
\papersize a5paper
\use_geometry true
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\leftmargin 2cm
\topmargin 2cm
\rightmargin 2cm
\bottommargin 2cm
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language german
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Standard
\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\svecp}[1]{#1}
\end_inset


\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\svect}[1]{#1}
\end_inset


\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}
\end_inset


\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\FoR}[1]{\mathfrak{#1}}
\end_inset


\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\end_inset


\begin_inset FormulaMacro
\newcommand{\WignerD}{\mathcal{D}}
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Title
Testování numerické správnosti QPMS
\end_layout

\begin_layout Author
Marek Nečada
\end_layout

\begin_layout Abstract
Všeliké poznámky vztahující se k psaní testů knihovny QPMS.
\end_layout

\begin_layout Section
Operátor přesunu
\end_layout

\begin_layout Standard
Rozmohl se mi takový nešvar, že souměrné soustavy (například vůči zrcadlení
 
\begin_inset Formula $y\leftrightarrow-y$
\end_inset

) dávají nesouměrné výsledky např.
 pro účinný průřez.
 Zdá se, že k chybě dochází v některém z kroků výpočtu operátoru přesunu
 
\begin_inset Formula $S(b\leftarrow a)$
\end_inset

.
 Ověřme jeho výpočtem v různě otočených či převrácených soustavách souřadnic.
 Buďtež tedy 
\begin_inset Formula $\FoR F$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\FoR G$
\end_inset

 dvě různé soustavy souřadnic v euklidovském navzájem otočené či převrácené,
 a pakliže vyjádření vektoru 
\begin_inset Formula $\vect v$
\end_inset

 v soustavě 
\begin_inset Formula $\FoR F$
\end_inset

 je 
\begin_inset Formula $\vect v_{j}^{\FoR F}$
\end_inset

, pak jeho vyjádření v soustavě 
\begin_inset Formula $\FoR G$
\end_inset

 budiž 
\begin_inset Formula $\vect v_{j}^{\FoR G}=\Psi_{ji}\vect v_{i}^{\FoR F}$
\end_inset

, kde 
\begin_inset Formula $\Psi\in O(3)$
\end_inset

.
 Odpovídající transformace kulového vektoru (např.
 vyzařovaných kulových el.
 vln) jest
\begin_inset Formula 
\[
\svect A_{l'm'}^{\FoR G}=\WignerD_{l'm'\leftarrow lm}^{(\Psi)}\svect A_{lm}^{\FoR F}.
\]

\end_inset

Pakliže se jedná o kombinovaný kulový vektor-pseudovektor (jako třeba vyzařovaný
ch kulových elektrických a magnetických vln), dostáváme (OVĚŘ)
\begin_inset Formula 
\[
\svecp A_{t'l'm'}^{\FoR G}=\WignerD_{t'l'm'\leftarrow tlm}^{(\Psi)}\svecp A_{tlm}^{\FoR F}=\left(\det\Psi\right)^{\left(t'-t\right)}\WignerD_{l'm'\leftarrow lm}^{(\Psi)}\svecp A_{tlm}^{\FoR F}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Vezměmež elementární případ dílčího rozptylu částice v bodě 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 záření vyzařovaného částicí v bodě 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 Nezávisle na soustavě:
\begin_inset Formula 
\[
P^{(b)}=S_{b\leftarrow a}T^{(a)}P^{(a)}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
V soustavě 
\begin_inset Formula $\FoR F$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
P^{(b)\FoR F}=S_{(b\leftarrow a)^{\FoR F}}^{\FoR F}T^{(a)\FoR F}P^{(a)\FoR F}.
\]

\end_inset

V soustavě 
\begin_inset Formula $\FoR G$
\end_inset

 (pro jednoduchost píši 
\begin_inset Formula $\WignerD\equiv\WignerD^{(\Psi)}$
\end_inset

 atd.):
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
P^{(b)\FoR G} & = & \WignerD P^{(b)\FoR F}=\WignerD S_{(b\leftarrow a)^{\FoR F}}^{\FoR F}T^{(a)\FoR F}P^{(a)\FoR F}\\
 & = & \underbrace{\WignerD S_{(b-a)^{\FoR F}}^{\FoR F}\WignerD^{-1}}_{S_{(b-a)^{\FoR F}}^{\FoR G}=S_{\Psi^{-1}(b-a)^{\FoR G}}^{\FoR G}???}\underbrace{\WignerD T^{(a)\FoR F}\WignerD^{-1}}_{T^{(a)\FoR G}}\underbrace{\WignerD P^{(a)\FoR F}}_{P^{(a)\FoR G}}.
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Nemá první svorka býti 
\begin_inset Formula $S_{\left(b-a\right)^{\FoR G}}^{\FoR G}$
\end_inset

?!
\end_layout

\begin_layout Standard
Test správnosti tedy může vypadat následovně:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Vytvoř náhodně vektor přesunu 
\begin_inset Formula $\vect v$
\end_inset

 (což bude naše 
\begin_inset Formula $(b-a)^{\FoR G}$
\end_inset

) a transformaci 
\begin_inset Formula $\Psi\in O(3)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
TODO
\end_layout

\begin_layout Subsection
Nalezené nesrovnalosti
\end_layout

\begin_layout Standard
Xuovy vzorce ve starší práci 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
after "(77–80)"
key "xu_calculation_1996"

\end_inset

 a v novější práci 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
after "(63–65, ...)"
key "xu_efficient_1998"

\end_inset

 pro koefficienty 
\begin_inset Formula $B_{mn\mu\nu}$
\end_inset

 se lišejí v několika ohledech:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Ve starší práci suma začíná na 
\begin_inset Formula $q=0$
\end_inset

, kdežto v novější práci až na 
\begin_inset Formula $q=1$
\end_inset

.
 Ovšem členy s 
\begin_inset Formula $q=0$
\end_inset

 jsou identicky nulové, takže je zbytečné začínat na nule.
 (Ověřeno numericky – i tam jsou to přesně nuly.)
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Ve starší práci je poslední člen sumy 
\begin_inset Formula $q=\min\left(n+1,\nu,\frac{n+\nu+1-\left|\mu-m\right|}{2}\right)$
\end_inset

, zatímco v novější je to 
\begin_inset Formula $q=\min\left(n,\nu,\frac{n+\nu+1-\left|\mu-m\right|}{2}\right)$
\end_inset

.
 Tyto hodnoty se pochopitelně mohou lišit, například pro 
\begin_inset Formula $\left(m,n,\mu,\nu\right)=\left(-1,1,-1,3\right)$
\end_inset

.
 Numericky ověřeno, že „přebytečné“ členy ze starší práce jsou nulové (avšak
 vypočtené hodnoty nejsou přesně nuly, něco zbude kvůli zaokrouhlovacích
 chyb).
\end_layout

\begin_layout Enumerate
!!! Některé hodnoty nesedějí, například pro 
\begin_inset Formula $\left(m,n,\mu,\nu\right)=\left(0,1,-1,1\right)$
\end_inset

!!! (Při numerickém srovnání Xuových vzorců 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
after "(77–80)"
key "xu_calculation_1996"

\end_inset

 ve staré práci a cruzanovských vzorců 
\begin_inset CommandInset citation
LatexCommand cite
after "(59–61, ...)"
key "xu_efficient_1998"

\end_inset

.)
\end_layout

\begin_layout Enumerate
A nakonec samotné vzorce pro sčítance mají poněkud jiný tvar.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Možné zdroje nepřesností
\end_layout

\begin_layout Standard
I po opravě na Cruzanovy/Xuovy vzorce dochází k tomu, že posunuté vlny mají
 chybu řádově v procentech a více.
 Přitom hodnota se nezlepšuje se zvýšením lMax.
 Možné zdroje nepřesností, jež je třeba vyloučit:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Odčítání podobných hodnot.
 Řešení: nahradit všechny podezřelé součty Kahanovým sčítáním.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Nepřesnosti v implementaci GSL.
 Otestovat a porovnat s 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
Legendreovy polynomy,
\end_layout

\begin_layout Itemize
Besselovy funkce – nepřesné jak sviňa zejména u derivací besselových funkcí
 prvního druhu.
 Nutno zvolit jinou implementaci.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
Vzorce v Xu blbě? To by bylo blbé, ale byl ještě jeden článek v jakémsi
 obskurním plátku.
\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset bibtex
LatexCommand bibtex
bibfiles "/l/necadam1/repo/qpms/Electrodynamics"
options "plain"

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document
